Límite en Cálculo: Definición, Reglas, Tipos y Ejemplos

El concepto de límite es una idea fundamental en cálculo y análisis matemático. Se utiliza para describir el comportamiento de una función cuando su entrada se acerca a un valor particular o cuando tiende hacia el infinito o el infinito negativo.

también la integración, la derivación y la continuidad de funciones. El límite de la función nos dice el comportamiento de la función en cualquier instante de tiempo para predecir las propiedades de la función como continuidad, diferenciabilidad, etc.

Además, el límite proporciona una forma matemática precisa de describir cómo se comporta una función cerca de un punto particular o en el infinito. En este artículo, prescribiremos información sobre la definición de límites, junto con sus reglas, ejemplos, tipos y aplicaciones cotidianas.

Definición: cálculo de límites

Formalmente, el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a cierto valor ‘c’ se denota de la siguiente manera:

Lím(x → c) f(x) = L

Esto significa que a medida que ‘x’ se acerca arbitrariamente a ‘c’ (pero no es igual a c), los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a ‘L’. En otras palabras, ‘L’ es el valor al que la función «se acerca» o «tiende a» a medida que x se acerca más y más a ‘c’.

Los límites también se pueden usar para describir el comportamiento de una función cuando ‘x’ se aproxima a infinito positivo (∞) o infinito negativo (-∞). En estos casos, la notación límite se escribe como:

Lím (x → ∞) f(x) = L

O,

Lím (x → -∞) f(x) = L

Reglas de límite:

Para obtener el límite de una función específica, tenemos que seguir reglas para que podamos obtener una solución de la función fácilmente. Aquí se discuten algunas reglas de límites.

Existen algunas reglas generales de límites con

(Lím x → c) f(x) = M y (Lím x → c) g(x) = N

Regla de la suma :

Para dos funciones cualesquiera que se dan como una suma, entonces el límite se dará de la siguiente manera:

(Lím x → c) ( f (x)+g(x) )= Lím x → c (f(x)) + Lím x → c (g(x)) =M+L

Regla de diferencia:

Si dos funciones cualesquiera se dan como diferencia, entonces el límite se dará de la siguiente manera:

Lím (x → c) (f(x) − g(x)) = Lím x → c (f(x)) − Lím x → c (g(x)) = METRO − N

Regla del producto:

Para dos funciones cualesquiera que se den como producto, entonces el límite se dará de la siguiente manera:

Lím (x → c) (f(x) * g(x)) = Lím x → c (f(x)) * Lím x → c (g(x)) = M * N

Regla del múltiplo constante:

Si la función dada es constante multiplicada por múltiplos, entonces el límite se dará de la siguiente manera:

Lím (x → c) k (f(x)) = k Lím (x → c) (f(x)) = k * M

Regla del cociente:

Siempre que el límite del denominador no sea cero (0), dos funciones cualquiera pueden expresarse como un cociente. Entonces su límite será:

Lím (x → c) [(f(x))/ (g(x))] = Lím (x → c) (f(x)) / Lím (x → c) (g(x)) = M / norte

Tipos de cálculo de límites

En general , los límites ordinarios a veces se consideran límites bilaterales.

• Los límites de la mano derecha se aproximan al punto arbitrario desde el infinito positivo.

Lím (x → c ⁺ ) = R

• Los límites de la izquierda se aproximan al punto arbitrario desde el infinito negativo.

Lím (x → c ⁻ ) = R

Ejemplos de límites

Aquí hay algunos ejemplos resueltos para calcular limite de funciones en el punto específico.

Ejemplo 1: Lím (x → 2) f(x) = 4x ⁴ – x ³ +3x -2

Solución:

   Lím (x → 2) f(x) = Lím (x → 2) 4x ⁴ – Lím (x → 2) x ³ + Lím (x → 2) 3x – Lím (x → 2) 3

= 4(16) – 8 + 3(2) –3

= 64 –8 +6 –3

= 59

Ejemplo 2:  Lím (x → 3) f(x) = 12x ⁴ – x ³ + 5x / x ² + 5

Solución:

 Lim(x → 3) f(x) = [Lim(x → 3)12x ⁴ –Lim(x → 3) x ³ + Lim(x → 3) 5x] / Lim (x → 3) x ² + Lim ( X → 3) 5

= [12(81) – (27) +5(3)]/ (9) + 5

= [972 – 27 +15]/ 14

 = 960/14

= 480 /7

Ejemplo 3:   Lím (t → 6) f(x) = 4(t+1 )( t ² +3)

Solución:

Lím (t → 6) f(x) = 4 [Lím (t → 6) t + Lím (t → 6) (1) ][ Lím (t → 6) t ² + Lím (t → 6) (3) ]

= 4[6+ 1] [(6) ² +2]

= 4[7] [36+2]

= 28[38]

= 1064

Ejemplo 4: Lim (x → 3) f(x) = 2x ⁴ – 3x ³ – 4x ² – 10x

Solución:

Lím(x → 3) f(x) = Lím(x → 3)2x ⁴ –Lím(x → 3)3x ³ – Lím(x → 3) 4x ² – Lím(x → 3) 10x

=2(3) ⁴ – 3 (3) ^{3 – 4(3) 2} – 10(3)

=2(81) – 3(27) – 4(9) – 30

= 15

Usar una calculadora de límites con pasos es una forma alternativa de resolver los problemas de límites paso a paso para obtener resultados en segundos.

Aplicaciones de Límites

Las aplicaciones de Límites son las siguientes:

• En Cálculo : Los límites son necesarios para definir el cálculo diferencial y, por lo tanto, cada aplicación de ecuaciones diferenciales nos reconoció para encontrar en qué medida se aproxima la salida de una ecuación dada.
• En Química : Los límites nos permiten encontrar la contribución de dos químicos usados como reactivos para proceder con una reacción química específica en un intervalo de tiempo dado. De manera similar, un catalizador utilizado en una reacción específica hace que sea eficaz para proceder rápidamente con esta reacción en el límite de tiempo dado. Agregando más, podemos elaborar un ejemplo de un límite como cuando comenzó una reacción química en un vaso de precipitados en el que dos compuestos diferentes reaccionan para formar un nuevo compuesto.
• En ingeniería : para sacar conclusiones más rápido, los ingenieros usan las leyes de los límites para encontrar resultados más precisos y efectivos utilizando elementos materiales adecuados.
• En biología : se utiliza un límite de estrategia adecuada o método biotecnológico para calcular la velocidad a la que crece el virus, lo que puede permitir a los biólogos predecir si el virus está creciendo rápidamente o no. También permite a un biólogo tomar las contramedidas que deben tomarse para evitar la expansión.
• En física : los límites ayudan a medir la fuerza del campo magnético, el campo eléctrico, etc. De manera similar, en general, si se deja caer un cubo de hielo en un vaso de agua tibia y se mide la temperatura con el tiempo, la temperatura finalmente se acerca a la temperatura ambiente. donde se almacena el vidrio. A medida que el tiempo se acerca al infinito, se vuelve más difícil estimar la temperatura en esta condición.
• En análisis complejo : el tipo de información más pertinente se extrae de las funciones vastas y complejas utilizando límites. De esta forma, los límites pueden permitirnos encontrar la forma óptima de resolver funciones complejas.

Resumen

En esta discusión anterior, hemos aprendido el concepto de Límite en Cálculo, su definición, tipos, reglas, ejemplos y aplicaciones cotidianas. Comprender sus reglas nos permitirá resolver todo tipo de problemas de límites para funciones complejas específicas.

Diferentes tipos de ejemplos nos ayudarán a resolver en diferentes direcciones. La información sobre su uso en la vida cotidiana nos recuerda su importancia. Después de comprender todo el concepto, podemos resolver todo tipo de problemas relacionados con él.